arctan2x的导数
arctan(2x) 的导数及其推导
在数学分析中,求导是研究函数变化率的重要工具。本文将探讨函数 \( y = \arctan(2x) \) 的导数,并通过详细推导展示其计算过程。
首先回顾基本知识:函数 \( \arctan(x) \) 是正切函数 \( \tan(x) \) 的反函数,其定义域为实数集 \( \mathbb{R} \),值域为 \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \)。其导数公式为:
\[
\frac{d}{dx}[\arctan(x)] = \frac{1}{1 + x^2}.
\]
对于复合函数 \( y = \arctan(2x) \),可以将其视为 \( \arctan(u) \),其中 \( u = 2x \)。根据链式法则,复合函数的导数可表示为:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.
\]
接下来分步计算:
1. 对于 \( \arctan(u) \),其导数为 \( \frac{1}{1+u^2} \),因此 \( \frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2} \)。
2. 又因为 \( u = 2x \),所以 \( \frac{du}{dx} = 2 \)。
将两者代入链式法则公式:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2.
\]
进一步化简得到:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+4x^2}.
\]
综上所述,函数 \( y = \arctan(2x) \) 的导数为:
\[
\boxed{\frac{2}{1+4x^2}}.
\]
这一结果表明,当 \( x \) 发生微小变化时,\( \arctan(2x) \) 的变化率由上述表达式决定。此外,该导数始终存在且连续,说明原函数在整个定义域内具有良好的可导性。
总结来说,求解 \( \arctan(2x) \) 的导数需要熟练掌握链式法则和基本导数公式,同时注意对变量进行替换与简化。这种方法不仅适用于本例,还可推广至其他复杂的复合函数求导问题。
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