arctan(2x) 的导数及其推导
在数学分析中，求导是研究函数变化率的重要工具。本文将探讨函数 \( y = \arctan(2x) \) 的导数，并通过详细推导展示其计算过程。
首先回顾基本知识：函数 \( \arctan(x) \) 是正切函数 \( \tan(x) \) 的反函数，其定义域为实数集 \( \mathbb{R} \)，值域为 \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \)。其导数公式为：
\[
\frac{d}{dx}[\arctan(x)] = \frac{1}{1 + x^2}.
\]
对于复合函数 \( y = \arctan(2x) \)，可以将其视为 \( \arctan(u) \)，其中 \( u = 2x \)。根据链式法则，复合函数的导数可表示为：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.
\]
接下来分步计算：
1. 对于 \( \arctan(u) \)，其导数为 \( \frac{1}{1+u^2} \)，因此 \( \frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2} \)。
2. 又因为 \( u = 2x \)，所以 \( \frac{du}{dx} = 2 \)。
将两者代入链式法则公式：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2.
\]
进一步化简得到：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+4x^2}.
\]
综上所述，函数 \( y = \arctan(2x) \) 的导数为：
\[
\boxed{\frac{2}{1+4x^2}}.
\]
这一结果表明，当 \( x \) 发生微小变化时，\( \arctan(2x) \) 的变化率由上述表达式决定。此外，该导数始终存在且连续，说明原函数在整个定义域内具有良好的可导性。
总结来说，求解 \( \arctan(2x) \) 的导数需要熟练掌握链式法则和基本导数公式，同时注意对变量进行替换与简化。这种方法不仅适用于本例，还可推广至其他复杂的复合函数求导问题。
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